LeetCode_70 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

典型的解法是动态规划。

这个问题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题，即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建，我们可以使用动态规划来解决这一问题。

第 i 阶可以由以下两种方法得到：

1. 在第 (i-1) 阶后向上爬 1 阶。

2. 在第 (i-2) 阶后向上爬 2 阶。

所以到达第 i 阶的方法总数就是到第 (i-1) 阶和第 (i-2) 阶的方法数之和。

令 dp[i]表示能到达第 i阶的方法总数：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

本文主要为了说明这个公式，为什么到达第 i 阶的方法总数就是到第 (i-1) 阶和第 (i-2) 阶的方法数之和？到达第 (i-1) 阶的方法和达到第 (i-2) 阶的方法里难道没有重复的？

其实只看到达第 (i-1) 阶的方法和达到第 (i-2) 阶的方法，确实可能有重复的。但是达到第 i 阶的方法中第 (i-1) 阶的方法+1 与 第 (i-2) 阶方法+2，这两者绝无可能重复，且没有遗漏，所以是典型的动态规划问题，大问题可以分解成同样的小问题加以解决。

示例：

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，单循环到 n 。
• 空间复杂度：O(n)，dp 数组用了 n 的空间。